Энциклопедический словарь, 1998 г.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО (вещественное число) любое положительное, отрицательное число или нуль. Посредством действительных чисел выражаются результаты измерения всех физических величин.
Большая Советская Энциклопедия
вещественное число, любое положительное число, отрицательное число или нуль. Д. ч. разделяются на рациональные и иррациональные. Первые представимы как в виде рациональной дроби, т. е. дроби p/q, где р и q ≈ целые, q ¹ 0, так и в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, а вторые ≈ только в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.
Строгая теория Д. ч., которая позволяет определять иррациональные числа, исходя из рациональных, была развита лишь во 2-й половине 19 в. трудами К. Вейерштрасса , Р. Дедекинда и Г. Кантора . Множество всех Д. ч. называется числовой прямой и обозначается R. Это множество линейно упорядочено и образует поле по отношению к основным арифметическим операциям (сложение и умножение). Множество рациональных чисел всюду плотно в R, и R есть его пополнение. Числовая прямая R подобна геометрической прямой, т. е. между числами из R и точками на прямой можно установить взаимно однозначное соответствие с сохранением упорядоченности. Важнейшее свойство числовой прямой состоит в её непрерывности. Принцип непрерывности числовой прямой имеет несколько различных формулировок. Принцип Вейерштрасса: всякое непустое ограниченное сверху числовое множество имеет (единственную) верхнюю грань. Принцип Дедекинда: всякое сечение в области Д. ч. имеет рубеж. Принцип Кантора (принцип стягивающихся отрезков): всякая стягивающаяся система отрезков {[an, bn]} числовой прямой имеет единственное число, принадлежащее всем отрезкам.
Теория Д. ч. является одним из важнейших узловых вопросов математики. Свойства числовой прямой являются тем фундаментом, на котором строится теория пределов , а вместе с ней ≈ всё здание современного математического анализа. Подробнее см. Число .
С. Б. Стечкин.