Что значит "интегро-дифференциальные уравнения"

уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла и под знаком производной. Например, уравнение, полученное итальянским математиком В. Вольтерра в задаче о крутильных колебаниях:

Иногда И.-д. у. можно свести к интегральным уравнениям или дифференциальным уравнениям . Решение И.-д. у. можно искать по методу последовательных приближений.

Интегро-дифференциальные уравнения — класс уравнений , в которых неизвестная функция содержится как под знаком интеграла , так и под знаком дифференциала или производной .

L[φ(x)] − λ∫K(x, y, P[φ(y)])dy = f(x)

где

${L}_{n}[\varphi (x)]=\frac{{d}^{n}\varphi (x)}{{dx}^{n}}+{a}_{1}(x)\frac{{d}^{n-1}\varphi (x)}{{dx}^{n-1}}+...+{a}_{n}(x)\varphi (x)$ называется внешним дифференциальным оператором, а ${P}_{m}[\varphi (y)]=\frac{{d}^{m}\varphi (y)}{{dy}^{m}}+{b}_{1}(y)\frac{{d}^{m-1}\varphi (y)}{{dy}^{m-1}}+...+{b}_{m}(y)\varphi (y)$ — внутренним дифференциальным оператором K(x, y, P[φ(y)]) — ядро интегро-дифференциального уравнения

Некоторые интегро-дифференциальные уравнения можно свести к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве , однако существуют эволюционные интегро-дифференциальные уравнения (встречающиеся в теории упругости и моделях биологических процессов), содержащие интегрирование по времени, для которых это сделать сложно.