Что значит "малые выборки"

статистические выборки столь малого объёма n, что к ним нельзя применить простые классические формулы, действующие лишь асимптотически при n ╝ ¥. Особенности статистической оценки параметров по М. в. легче всего понять на примере нормального распределения (для которого малыми обычно считают выборки объёма n £ 30). Пусть необходимо оценить неизвестное среднее значение a выборки x1, x2, ..., xn из нормальной совокупности с неизвестной дисперсией s2. Обозначим , . Исходным пунктом при оценке a служит то обстоятельство, что распределение вероятностей величины не зависит от а и s. Вероятность w неравенства ≈ tw < t < tw и равносильного ему неравенства ════(

1. вычисляется при этом по формуле

   w = ═(

2. где s(t, n ≈ 1) есть плотность вероятности для так называемого Стьюдента распределения с n ≈ 1 степенями свободы. Определяя для заданных n и w (0 < w < 1) соответствующее tw (что можно сделать, например, по таблицам), получают правило (1) нахождения доверительных границ для величины а, имеющей значимости уровень w.

   При больших n формула (2), связывающая w и tw, приближённо может быть заменена формулой

   ════(

3. Эту формулу иногда неправильно применяют для определения tw при небольших n, что приводит к грубым ошибкам. Так, для w = 0,99 по формуле (3) находим t0,99 = 2,58; истинные значения t0,99 для малых n приведены в следующей таблице:

   n 2 3 4 5 10 20 30

   t0,99

   63,66

   9,92

   5,84

   4,60

   3,25

   2,86

   2,76

   Если пользоваться формулой (3) при n = 5, то получится вывод, что неравенство

   выполняется с вероятностью 0,99. В действительности в случае пяти наблюдений вероятность этого неравенства равна лишь 0,94, а вероятностью 0,99 обладает в соответствии с приведённой таблицей неравенство

   Об оценке по М. в. теоретической дисперсии s2 см. «Хи-квадрат» распределение . Разработаны также аналогичные методы оценки по М. в. параметров многомерных распределении (например, коэффициента корреляции).

   Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, перевод с английского, М., 1948; Колмогоров А. Н., Определение центра рассеивания и меры точности по ограниченному числу наблюдений, «Известия АН СССР. Серия математическая», 1942, т. 6, ╧ 1≈2; Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, М., 1965.

   Ю. В. Прохоров.