Что значит "монотонная функция"

функция, которая при возрастании аргумента либо всегда возрастает (или хотя бы не убывает), либо всегда убывает (не возрастает).

(от греч. monótonos ≈ однотонный), функция, приращения которой Df(x) = f(x▓) ≈ f(x) при Dx = x▓ ≈ x > 0 не меняют знака, т. е. либо всегда неотрицательны, либо всегда неположительны. Выражаясь не совсем точно, М. ф. ≈ это функции, меняющиеся в одном и том же направлении. Различные типы М. ф. представлены на прилагаемой табл.:

Например, функция у = x3 является возрастающей функцией. Если функция f(x) имеет в каждой точке производную f▓(x), которая неотрицательна и обращается в нуль лишь в конечном числе отдельных точек, то f(x) ≈ возрастающая функция. Аналогично, если f▓(x) £ 0 и обращается в нуль только в конечном числе точек, то f(x) ≈ убывающая функция.

Условие монотонности может выполняться как для всех х, так и для х из некоторого интервала (или отрезка). В этом последнем случае функцию называют монотонной на этом интервале (или отрезке). Например, функция ═возрастает на отрезке [ ≈ 1, 0] и убывает на отрезке [0, + 1].

М. ф. представляют собой один из простейших классов функций и постоянно встречаются в математическом анализе и теории функций. Если f(x) ≈ М. ф., то для любого x0 существуют пределы

и

Моното́нная фу́нкция — это функция, которая всё время либо возрастает, либо убывает. Более точно, это функция f приращение которой Δf = f(xʹ) − f(x) при Δx = xʹ − x > 0 не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение Δf не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.