Большая Советская Энциклопедия
функция, значения которой при добавлении к аргументу надлежащим образом выбранных постоянных чисел (почти периодов) приближённо повторяются. Более точно: непрерывная функция f (x), определённая для всех действительных значений х, называется почти периодической, если для каждого e > 0 можно указать такое l = l (e), что в каждом интервале оси х длины l найдётся хотя бы одно число t = t(e), для которого при любом х выполняется неравенство |f (x + t) ≈ f (x)| < e. Числа t называются почти периодами функции f (x). Периодическая функции суть частные случаи П. п. ф.; простейшие примеры П. п. ф., не являющихся периодическими, получаются в результате сложения периодических функций с несоизмеримыми периодами, например cosx + cosx. Некоторые наиболее важные свойства П. п. ф.:
П. п. ф. ограничена и равномерно непрерывна на всей оси х.
Сумма и произведение конечного числа П. п. ф. есть также П. п. ф.
Предел равномерно сходящейся последовательности П. п. ф. есть также П. п. ф.
-
Для каждой П. п. ф. существует среднее значение (на всей оси х):
.
-
Каждой П. п. ф. можно сопоставить ряд Фурье:
причём l1, l2, ┘, ln, ┘, может быть любой последовательностью отличных друг от друга действительных чисел и
.
-
Равенство Парсеваля: для каждой П. п. ф. справедливо равенство:
M {|f (x)|2} = .
-
Теорема единственности: если f (x) есть непрерывная П. п. ф. и если для всех действительных l
М {f (х) е-ilx} = 0,
то f (x) º 0. Иначе говоря, ряд Фурье однозначно определяет П. п. ф.
-
Теорема аппроксимации: для каждого e > 0 можно указать такой конечный тригонометрический полином
(mk ≈ действительные числа), что для всех значений х выполняется неравенство: |f (x) ≈ Pe(x)| < e; обратно, каждая функция f (x) с этим свойством является П. п. ф.
Первое построение непрерывных П. п. ф. было дано датским математиком Х. Бором (1923). Ещё ранее (1893) частный случай П. п. ф. ≈ т. н. квазипериодические функции ≈ изучил латвийский математик П. Боль. Новое построение теории П. п. ф. дал Н. Н. Боголюбов (1930). Обобщение теории П. п. ф. на разрывные функции впервые дано В. В. Степановым (1925), а потом Г. Вейлем и А. Безиковичем. Обобщение другого рода было дано советским математиком Б. М. Левитаном (1938).
Лит.: Бор Г., Почти периодические функции, пер. с нем., М. ≈ Л., 1934; Левитан Б. М., Почти-периодические функции, М., 1953.