Что значит "теплопроводности уравнение"

дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка, описывающее процесс распространения тепла в среде. где T(x, t) - искомая функция - температура в точке с координатой x в момент t.

дифференциальное уравнение с частными производными параболического типа, описывающее процесс распространения теплоты в сплошной среде (газе, жидкости или твёрдом теле); основное уравнение математической теории теплопроводности . Т. у. выражает тепловой баланс для малого элемента объёма среды с учётом поступления теплоты от источников и тепловых потерь через поверхность элементарного объёма вследствие теплопроводности. Для изотропной неоднородной среды Т. у. имеет вид:

,

где r ≈ плотность среды; cv ≈ теплоёмкость среды при постоянном объёме; t ≈ время; х, у, z ≈ координаты; Т = Т (х, у, z, t) ≈ температура, которая вычисляется при помощи Т. у.; l ≈ коэффициент теплопроводности; F = F (x, y, z, t) ≈ заданная плотность тепловых источников. Величины r, Cv, l зависят от координат и, вообще говоря, от температуры. Для анизотропной среды Т. у. вместо l содержит тензор теплопроводности lir, где i, k = 1, 2, 3.

В случае изотропной однородной среды Т. у. принимает вид:

,

где DT ≈ Лапласа оператор , a2 = l/(rcv) ≈ коэффициент температуропроводности; f = F/(rcv). В стационарном состоянии, когда температура не меняется со временем, Т. у. переходит в Пуассона уравнение DТ = f/a2 = F/l или, при отсутствии источников теплоты, в Лапласа уравнение DТ = 0. Основными задачами для Т. у. является Коши задача и смешанная краевая задача (см. Краевые задачи ).

Первые исследования Т. у. принадлежат Ж. Фурье (1822) и С. Пуассону (1835). Важные результаты в исследовании Т. у. были получены И. Г. Петровским , А. Н. Тихоновым , С. Л. Соболевым .

Лит.: Карслоу Г. С., Теория теплопроводности, пер. с англ., М.≈ Л., 1947: Владимиров В. С., Уравнения математической физики, М., 1967; Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966.

Д. Н. Зубарев.