Что значит "характеристика (в математике)"

Характеристика в математике,

1. целая часть десятичного логарифма .

2. Понятие теории дифференциальных уравнений с частными производными.

   Х. дифференциального уравнения 1-го порядка

   ,═══(1)

   где Р = P (x, y, z), Q = Q (x, y, z), R = R (x, y, z) ≈ заданные функции, называются кривые, определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений

   .═══(2)

   Интегрируя систему (2), получают семейство характеристик j(x, y, z) = C1, y(x, y, z) = C2 (C1, C2 ≈ произвольные постоянные) как совокупность кривых, касающихся в каждой своей точке вектора {P, Q, R}. Всякая интегральная поверхность уравнения (1) представляет собой геометрическое место Х., пересекающих некоторую кривую; уравнение такой поверхности может быть записано в виде F[j(x, y, z), y(x, y, z)] = 0, где F ≈ некоторая функция двух переменных. Обратно, чтобы найти интегральную поверхность, проходящую через заданную кривую (см. Коши задача ), достаточно построить геометрическое место Х., пересекающих эту кривую. Задача Коши имеет одно и только одно решение, если заданная кривая не является Х. Понятие Х. обобщается на случай дифференциального уравнения 1-го порядка с числом независимых переменных, большим двух.

   Х. дифференциального уравнения 2-го порядка

   ═══(

3. были введены Г. Монжем (1784, 1795) как линии, вдоль которых удовлетворяется обыкновенное дифференциальное уравнение

   .═══(

4. Если уравнение (3) принадлежит к гиперболическому типу, то получаются два семейства Х. с уравнениями x(x, y) = C1 и h(х, у) = C2 (C1, C2 ≈ произвольные постоянные); взяв x и h за новые аргументы, можно привести уравнение (3) к виду

   .

   Для уравнения (3) параболического типа эти семейства совпадают; если выбрать аргумент h произвольно, то уравнение (3) приведется к виду

   .

   Уравнение (3) эллиптического типа не имеет вещественных Х.; если записать решение уравнения (4) в виде x ╠ ih = C, то уравнение (3) преобразуется к виду

   .

   Значения решения и вдоль Х. и значения ═и ═в какой-либо её точке полностью определяют значения этих производных вдоль всей линии [на этом основан т. н. метод Х. решения краевых задач для уравнения (3)]; для других линий такой связи нет. С другой стороны, значения u, ═и , заданные на линии, не являющейся Х., определяют значения решения вблизи этой линии; для Х. же это не так. Если два решения уравнения (3) совпадают по одну сторону от некоторой линии и различны по другую, то эта линия непременно является Х.

   Если коэффициенты уравнения (3) зависят от u, ═и ═(квазилинейный случай), то Х., определяемые из уравнения (4), будут разные для разных решений. Имеются определения Х. и для уравнений и систем уравнений с частными производными любого порядка.

   Лит. см. при ст. Уравнения математической физики .