Что значит "численное решение уравнений"

нахождение приближенных численных решений алгебраических и трансцендентных уравнений, в отличие от решений, выражаемых формулами. Численное решение уравнений сводится к выполнению арифметических операций над коэффициентами уравнений и значениями входящих в него функций и позволяет найти решение уравнений с любой наперед заданной точностью. К численному решению уравнений сводятся многие задачи математики и ее приложений.

нахождение приближённых решений алгебраических и трансцендентных уравнений. Ч. р. у. сводится к выполнению арифметических операций над коэффициентами уравнений и значениями входящих в него функций и позволяет найти решения уравнений с любой наперёд заданной точностью. К Ч. р. у. сводятся многие задачи математики и её приложений. Хотя общие методы Ч. р. у. появились лишь в 17 в. (И. Ньютон ), но ещё Леонардо Пизанский (начало 13 в.) вычислил корень уравнения х3 + 2x2 + 10x = 20 с ошибкой, меньшей чем ═В конце 16 в. И. Бюрги (Швейцария) вычислил корень уравнения 9 ≈ 30x2 + 27x4 ≈ 9x6 + x8 = 0, определяющего длину стороны правильного девятиугольника. Приблизительно в то же время Ф. Виет дал метод вычисления корней алгебраических уравнений, сходный с Ньютона методом . Численное решение алгебраических уравнений разбивается на следующие этапы:

1. выделение кратных корней, сводящее задачу к решению уравнения с простыми корнями;

2. определение границ, между которыми могут лежать корни уравнения;

3. разделение корней, т. е. указание промежутков, каждый из которых содержит не более одного простого корня (см. Штурма правило );

4. грубое определение приближённого значения корня, выполняемое графически или каким-либо иным способом (например, при помощи изучения перемен знака левой части уравнения);

5. вычисление корня с заданной точностью. Наиболее распространёнными методами для этого являются методы ложного положения, метод Ньютона, Лобачевского метод , последовательных приближений метод , разложение в ряды и т.д.

   При численном решении трансцендентных уравнений ограничиваются этапами 4 и 5. О численном решении дифференциальных уравнений см. в ст. Приближённое решение дифференциальных уравнений.

   Лит.: Энциклопедия элементарной математики, кн. 2 ≈ Алгебра, М.≈Л., 1951; Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975.

Численное решение уравнений и их систем состоит в приближённом определении корней уравнения или системы уравнений и применяется в случаях, когда точный метод решения неизвестен или трудоёмок.